Cómo sortear entre varias opciones con una moneda
Una moneda solo tiene dos lados, pero con varios lanzamientos puedes elegir entre tres, cinco o doce opciones de forma exactamente justa. Hay un método sencillo y varios atajos que parecen buenos y no lo son.
El problema de la moneda de dos caras
Una moneda reparte dos opciones sin dificultad. El problema aparece cuando son tres, cinco o siete: ¿cómo elegir una sola, de modo que todas tengan exactamente la misma probabilidad? Hay una receta sencilla, y algunos atajos muy comunes que no funcionan. Con una moneda física o con la moneda de esta página puedes sortear entre cualquier número de opciones.
Cuántas opciones puedes repartir con cada lanzamiento
Cada lanzamiento duplica los resultados posibles: dos lanzamientos dan 4 combinaciones, tres dan 8, cuatro dan 16.
| Lanzamientos | Combinaciones posibles | Opciones que puedes repartir sin sobras |
|---|---|---|
| 1 | 2 | 2 |
| 2 | 4 | 4 (o 2) |
| 3 | 8 | 8 (o 4, 2) |
| 4 | 16 | 16 (o 8, 4, 2) |
Si el número de opciones es una potencia de dos, el reparto es directo. Para elegir entre cuatro, asigna una opción a cada combinación: cara-cara, cara-sello, sello-cara y sello-sello. Pero ¿y si tienes tres opciones?
Cuando no cuadra: la regla de repetir
Para tres opciones, usa dos lanzamientos (4 combinaciones). Asigna una combinación a cada opción y deja la cuarta como «repetir». Por ejemplo:
- Cara-cara: gana la opción A.
- Cara-sello: gana la opción B.
- Sello-cara: gana la opción C.
- Sello-sello: no vale, se vuelve a lanzar dos veces.
Esto es justo porque, cuando el sorteo termina, las tres combinaciones válidas tenían la misma probabilidad (un cuarto cada una). Cada opción gana con probabilidad exacta de un tercio. Repetir no favorece a nadie: simplemente descarta un resultado que no estaba asignado.
La regla general: usa el menor número de lanzamientos k cuyo número de combinaciones (2k) sea igual o mayor que el de opciones, asigna una combinación a cada opción y repite si sale una combinación sobrante. El coste es cuántas veces te tocará repetir:
| Opciones | Lanzamientos por ronda | Probabilidad de repetir | Lanzamientos esperados |
|---|---|---|---|
| 3 | 2 | 25 % | 2,67 |
| 5 | 3 | 37,5 % | 4,80 |
| 6 | 3 | 25 % | 4,00 |
| 7 | 3 | 12,5 % | 3,43 |
| 9 | 4 | 43,8 % | 7,11 |
| 10 | 4 | 37,5 % | 6,40 |
| 12 | 4 | 25 % | 5,33 |
Para 6 opciones, por ejemplo, haces tres lanzamientos (8 combinaciones), asignas seis y repites con las otras dos. En promedio necesitas cuatro lanzamientos.
Los atajos que no funcionan
El torneo con una moneda
Con tres opciones, parece natural lanzar entre A y B y que el ganador se enfrente a C. Pero eso es injusto: C solo tiene que ganar un duelo y tiene una probabilidad de 1/2, mientras que A y B solo llegan a ser elegidas con probabilidad de 1/4 cada una. Los torneos de eliminación solo son justos cuando el número de opciones es una potencia de dos y todas empiezan en la misma ronda.
Dar «sobras» a una opción
Con tres opciones y cuatro combinaciones, es tentador dar dos combinaciones a una de ellas. Esa opción tendría el doble de probabilidad que las otras. La regla de repetir existe precisamente para evitarlo.
Contar caras
Lanzar la moneda cuatro veces y contar las caras no reparte por igual: 0 y 4 caras son mucho menos probables que 2 caras. Los conteos tienen una distribución en forma de campana, no uniforme.
¿Y con dados?
Un dado de seis caras reparte seis opciones directamente. Para tres opciones, 1 y 2 para la A, 3 y 4 para la B, 5 y 6 para la C. Para diez, dos dados dan 36 combinaciones: asignas tres a cada opción (30 en total) y repites con las seis restantes. En cuanto el número de opciones no divide a los resultados posibles, hay que repetir.
La herramienta que lo hace por ti
El sorteador de opciones aplica este mismo principio por dentro: genera un número aleatorio y, si cae en la franja que desequilibraría el reparto, lo descarta y vuelve a intentarlo. Escribes tus opciones, una por línea, y elige una al azar o sortea el orden completo. Lo que escribes no sale de tu navegador.
Si buscas más sobre cómo decidir con una moneda, lee decidir con una moneda: qué dice la investigación.
Fuentes
- Donald E. Knuth y Andrew C. Yao, «The complexity of nonuniform random number generation», en Algorithms and Complexity, Academic Press, 1976. Es el trabajo de referencia sobre cuántos lanzamientos de moneda hacen falta para elegir entre n opciones.
- Los valores de la tabla de costes (probabilidad de repetir y lanzamientos esperados) se calcularon de forma exacta como k·2k/n.