Calculadora de rachas: ¿cuántas caras seguidas son normales?
¿Qué probabilidad hay de ver seis caras seguidas en cien lanzamientos? Más alta de lo que crees. Calcula el valor exacto para cualquier combinación.
Calculadora de rachas
Por qué las rachas nos engañan
Pide a alguien que escriba una secuencia de cien lanzamientos «al azar» y casi siempre evitará las rachas largas: pondrá una cara, luego un sello, rara vez cuatro iguales seguidos. Una secuencia realmente aleatoria hace lo contrario. Las rachas largas no son una anomalía, son una propiedad esperable. Esta calculadora te da la probabilidad exacta de que aparezcan.
El cálculo recorre los lanzamientos uno a uno y lleva la cuenta de la probabilidad de estar en cada longitud de racha posible. Cuando una racha alcanza la longitud que buscas, esa rama se descarta como «racha lograda». Al final, lo que queda sin racha se resta de 1. No es una aproximación: es el valor exacto para una moneda perfectamente equilibrada. El botón de simulación lanza 2.000 series de verdad (hasta 2.000 lanzamientos por serie) para que veas que ambos resultados coinciden.
Tabla de referencia: racha de cualquier lado
Probabilidad de que en n lanzamientos aparezca al menos una racha de k o más resultados iguales seguidos (caras o sellos):
| Lanzamientos | k = 4 | k = 5 | k = 6 | k = 7 | k = 8 | k = 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 10 | 46,5 | 21,7 | 9,4 | 3,9 | 1,6 | 0,2 |
| 20 | 76,8 | 45,8 | 23,7 | 11,5 | 5,4 | 1,2 |
| 50 | 98,1 | 82,1 | 54,4 | 30,9 | 16,2 | 4,1 |
| 100 | 100 | 97,2 | 80,7 | 54,2 | 31,5 | 8,7 |
| 200 | 100 | 99,9 | 96,5 | 79,9 | 54,2 | 17,2 |
| 1.000 | 100 | 100 | 100 | 100 | 98,2 | 62,4 |
Los valores del 100 % están redondeados: la probabilidad real es muy cercana a 100 %, pero nunca exactamente esa.
La regla práctica: log₂ de n
La racha más larga que cabe esperar en n lanzamientos crece muy despacio: es aproximadamente log₂(n) más 0,3 si cuentas cualquier lado. En la práctica:
- En 20 lanzamientos, la racha más larga esperada ronda 4,7.
- En 100 lanzamientos, ronda 7. Si ves una racha de 7 en una serie de 100, es lo más normal del mundo.
- En 1.000 lanzamientos, ronda 10.
De ahí viene un truco clásico en clases de estadística: se piden dos secuencias de 100 lanzamientos, una escrita por un alumno «de memoria» y otra lanzando una moneda de verdad, y el profesor las distingue buscando la racha más larga. La inventada casi nunca pasa de cuatro o cinco.
Qué hacer con este resultado
- Si una racha te parece «sospechosa», calcula su probabilidad antes de concluir que algo está trucado. Con una serie larga, lo raro sería no verla.
- Si evalúas varias series o varias monedas a la vez, la probabilidad de que alguna tenga una racha larga es mucho mayor que la de una sola. Es el mismo error de las «coincidencias» que se ven cuando se mira en muchos sitios.
- Para entender por qué una racha no cambia la probabilidad del siguiente lanzamiento, lee sobre la falacia del jugador.
Fuentes
- Mark F. Schilling, «The Longest Run of Heads», The College Mathematics Journal 21(3), 1990, sobre la longitud esperada de la racha más larga.
- Los valores de la tabla se calcularon con el mismo método exacto que usa la herramienta (programación dinámica) y se contrastaron con simulaciones.