La ley de los grandes números, explicada con una moneda

Por · Actualizado el 5 de noviembre de 2026

Cuantas más veces lanzas una moneda, más se acerca la proporción de caras al 50 %. Pero la ley dice menos de lo que mucha gente cree, y lo que no dice es lo más interesante.

Qué dice la ley

La ley de los grandes números afirma que, cuanto más veces repites un experimento aleatorio, más se acerca el resultado promedio al valor teórico. Con una moneda equilibrada: cuantos más lanzamientos hagas, más se acercará la proporción de caras al 50 %. Jacob Bernoulli la demostró para este tipo de experimentos en su Ars Conjectandi, publicado póstumamente en 1713, tras dedicarle según se cuenta unos veinte años. Siméon Denis Poisson le dio el nombre con que la conocemos en el siglo XIX.

Lo que la ley no dice

Es una de las ideas matemáticas más malinterpretadas. Tres errores frecuentes:

1. «El azar compensa»

Si una moneda lleva diez caras de ventaja, la ley no obliga a que salgan más sellos después. Lo que ocurre es que esas diez caras de ventaja se diluyen entre los miles de lanzamientos siguientes. Después de 10.000 lanzamientos más, la ventaja de diez caras casi no se nota en el porcentaje, aunque nunca se «pague». Es lo que explica la falacia del jugador.

2. «Los conteos se igualan»

Lo que converge es la proporción, no la diferencia entre caras y sellos. De hecho, esa diferencia tiende a crecer con el número de lanzamientos: la desviación típica de la diferencia entre caras y sellos es igual a la raíz cuadrada del número de lanzamientos. En 10.000 lanzamientos, una diferencia de 100 entre caras y sellos es perfectamente normal, y aun así la proporción de caras estaría en 50,5 %.

3. «Con pocos lanzamientos también se cumple»

La ley habla de muchos intentos. Con pocos, el reparto puede alejarse bastante del teórico, y eso no contradice nada. Tversky y Kahneman bautizaron «ley de los números pequeños» a la creencia de que una serie corta debería comportarse como una larga.

Un dato que sorprende: igualarse es cada vez menos probable

Pregunta: ¿cuál es la probabilidad de que, tras n lanzamientos, haya exactamente el mismo número de caras que de sellos? Parecería que cuanto más lanzas, más cerca debería estar de empatar. Pero la probabilidad de un empate perfecto disminuye:

No hay contradicción. Con más lanzamientos hay más resultados posibles, así que la probabilidad se reparte entre más casos y cada uno, incluido el empate perfecto, recibe una parte menor. Lo que la ley garantiza es que la proporción estará cada vez más cerca de 50 %, no que los conteos lleguen a coincidir.

Cuánta cercanía esperar

Si lanzas una moneda justa n veces, la proporción de caras suele quedar a unos 50 puntos dividido entre la raíz de n del 50 %. Con 100 lanzamientos, ±5 puntos; con 10.000, ±0,5 puntos. Para dividir el margen entre diez hay que multiplicar los lanzamientos por cien. La tabla completa y una simulación en vivo están en el simulador de monedas.

Por qué importa fuera de las monedas

• Seguros. Nadie puede predecir si una persona concreta tendrá un accidente, pero con millones de pólizas, la proporción de siniestros es muy estable. Esa estabilidad es lo que permite fijar primas.
• Casinos. Una ventaja pequeña por apuesta es incierta en una noche y casi segura a lo largo de millones de apuestas.
• Encuestas y ciencia. Una muestra mayor da estimaciones más precisas, con la misma regla de la raíz cuadrada: cuadruplicar la muestra reduce el margen de error a la mitad.

Versión fuerte y versión débil

Existen dos versiones. La ley débil dice que la probabilidad de que la proporción se desvíe una cantidad dada tiende a cero al crecer n. La ley fuerte, demostrada para el caso de la moneda por Émile Borel en 1909 y generalizada después por Kolmogorov, dice más: con probabilidad 1, la proporción de una serie infinita termina por converger al 50 %. Para el uso práctico, la idea es la misma: con muchos intentos, el azar se estabiliza.