Juego de Penney: elegir segundo siempre gana
Dos jugadores eligen una secuencia de tres lanzamientos y gana quien la vea aparecer primero. Parece justo, pero quien elige después tiene una ventaja que puede llegar al 87,5 %.
Simulador del juego de Penney
Las reglas
Dos jugadores eligen, uno después del otro, una secuencia de tres resultados, por ejemplo CSC (cara, sello, cara) y CCS (cara, cara, sello). Se lanza una moneda una y otra vez, anotando los resultados en fila. Gana quien vea primero aparecer su secuencia en los tres últimos lanzamientos. Parece un juego equitativo, porque todas las secuencias de tres tienen la misma probabilidad de salir en cualquier posición. Pero no lo es.
El segundo jugador siempre tiene ventaja
Quien elige después conoce la elección del rival y puede responder con una secuencia que gana más de la mitad de las veces, sea cual sea la del primero. La tabla muestra la mejor respuesta y su probabilidad de ganar, calculadas de forma exacta:
| Elige el primero | Responde el segundo | Probabilidad de ganar del segundo |
|---|---|---|
| CCC | SCC | 87,5 % (7 de 8) |
| CCS | SCC | 75 % (3 de 4) |
| CSC | CCS | 66,7 % (2 de 3) |
| CSS | CCS | 66,7 % (2 de 3) |
| SCC | SSC | 66,7 % (2 de 3) |
| SCS | SSC | 66,7 % (2 de 3) |
| SSC | CSS | 75 % (3 de 4) |
| SSS | CSS | 87,5 % (7 de 8) |
La receta tiene un patrón sencillo. Toma la secuencia del rival, quita su último resultado y ponle delante el contrario del segundo resultado del rival. Si el rival eligió CSC, su segundo resultado es S, así que tu primer resultado será C (lo contrario de S) y le sigues con los dos primeros de él: C + CS = CCS. Es justo la que muestra la tabla.
Por qué funciona
El caso más claro es CCC contra SCC. Para que CCC aparezca, el lanzamiento anterior tiene que haber sido una S: si hubiera sido una C, CCC ya habría aparecido antes. Y si hay una S justo antes de CCC, entonces SCC apareció primero. La única excepción es que los tres primeros lanzamientos sean cara, sin nada antes: 1 de cada 8. Por eso SCC gana 7 de cada 8 veces.
Los demás casos siguen la misma idea de forma menos extrema. La respuesta ganadora siempre termina con los dos primeros resultados de la secuencia del rival, así que cada vez que el rival está a punto de formar la suya, tú tienes buenas opciones de haber completado la tuya un instante antes. Es la intuición del método, no una demostración. Si quieres el cálculo general, la fórmula de Conway (en las fuentes) da la probabilidad exacta de cualquier duelo.
Una paradoja: no es transitivo
Que «A le gana a B» y «B le gana a C» no implica que «A le gane a C». En este juego hay ciclos. Por ejemplo: SCC gana a CCS el 75 % de las veces, CCS gana a CSS el 66,7 %, CSS gana a SSC el 75 % y SSC gana a SCC el 66,7 %. Cierra el círculo: no existe una «mejor secuencia». Lo mismo ocurre con los dados no transitivos, y es el motivo por el que, en un duelo, elegir segundo es siempre una ventaja.
Otro dato curioso: las esperas no mandan
Si lanzas una moneda hasta que salgan dos caras seguidas (CC), esperarás en promedio 6 lanzamientos. Hasta que salga CS, solo 4. Aun así, si enfrentas CC contra CS en una carrera, cada una gana exactamente la mitad de las veces. El tiempo medio de espera no determina quién llega primero. Para tres resultados, las esperas medias son 14 lanzamientos para CCC y SSS, 10 para CSC y SCS, y 8 para las otras cuatro.
Cómo usar el simulador
Elige una secuencia para A y pulsa «Mejor respuesta para B». Luego usa «Simular 10.000 partidas»: los porcentajes de victoria se acercarán a los de la tabla. «Jugar una partida» muestra la serie de lanzamientos completa y resalta los tres que decidieron el juego, lo que ayuda a ver cómo se gana. Prueba también secuencias que no sean la mejor respuesta y compáralas con la tabla.
Para ver otras propiedades sorprendentes de las monedas, revisa la calculadora de rachas o el simulador de monedas.
Fuentes
- Walter Penney, «Penney-Ante», Journal of Recreational Mathematics (1969), donde se plantea el juego.
- Martin Gardner, «Mathematical Games», Scientific American (1974), que lo popularizó entre el público general.
- John H. Conway ideó una fórmula para calcular las probabilidades de cada duelo. Más información: Penney's game (Wikipedia, en inglés).
- Las probabilidades de la tabla y los tiempos medios de espera se calcularon de forma exacta con una cadena de Markov y se verificaron mediante simulación.